A TRAVÉS DE LAS MATEMÁTICAS
¿Qué es la geometría?
Respuesta usual del estudiante de bachillerato: “geometría
es la parte de las matemáticas que estudia rectas, planos, círculos,
triángulos, cuadrados, ángulos y todas esas cosas”. Aunque muchos no seamos conscientes
de ello, cuando pensamos en geometría en términos de rectas, planos, círculos,
triángulos, cuadrados, ángulos y todas esas cosas, estamos pensando en la
geometría que desarrollaron los griegos clásicos entre los siglos quinto y
tercero a.C., un tipo de geometría conocida en matemáticas como geometría
euclídea, porque el primer libro que conocemos en el que se explica con detalle
esta geometría, Elementos, lo escribió Euclides alrededor del año 300 a.C. La geometría
euclídea es la geometría que vemos en el colegio y, de hecho, es prácticamente
la única geometría que se estudió en matemáticas hasta el siglo diecinueve.
Al principio, los objetos geométricos “rectas, planos,
círculos, triángulos, cuadrados, ángulos y todas esas cosas” se estudiaban como
elementos individuales, sin hacer referencia a un ambiente o contenedor. Poco a
poco, según empezaban a tomar medidas y a llevar números a la geometría, los
matemáticos fueron siendo conscientes de que estaban dando por hecho que los
objetos geométricos euclídeos habitaban en un tipo muy específico de espacio
con unas propiedades muy específicas. Tal espacio es la primera noción de
espacio que encontramos en matemáticas, y fue descrito explícitamente por primera
vez en el siglo dieciocho, el espacio euclídeo.
Así, la evolución de
la idea matemática de espacio puede ser dividida en dos períodos:
Un primer período que nos lleva
de la geometría de los objetos individuales de la antigüedad hasta el siglo
dieciocho, cuando el espacio aparece explícitamente descrito en matemáticas
como una enorme caja, un contenedor cúbico enorme. Este primer espacio
matemático era considerado como una réplica del espacio “real”, el espacio de
los fenómenos físicos que experimentamos a diario, y se caracteriza por cuatro
propiedades:
-Tiene tres dimensiones: altura, anchura, profundidad.
-Es homogéneo: tiene las mismas propiedades en todas sus
partes.
-Es el receptáculo en el que habitan los objetos de la
geometría euclídea y es, a su vez, un objeto geométrico en sí mismo.
-No ofrece resistencia al movimiento.
Un segundo período en el que el
espacio matemático, tras ser declarado independiente del espacio físico,
evoluciona rápidamente; en poco más de un siglo encontramos en matemáticas la
noción moderna de espacio como formado por un conjunto de elementos y
relaciones entre estos elementos. Ya no es contenedor. Ya no es objeto. Es una
red de relaciones entre objetos.
El primer período ha sido estudiado mucho y con profundidad,
especialmente desde el punto de vista de sus relaciones con el arte y la
arquitectura.
Nos centraremos en describir algunos aspectos de la
evolución que tuvo lugar durante el segundo período, el período que nos lleva
desde el espacio concebido como un contenedor de tamaño infinito en el que
flotan los objetos, hasta el espacio concebido como una red de relaciones entre
objetos.
Si reflexionamos sobre ello unos minutos, en seguida nos
damos cuenta de que encaramos un cambio drástico en la manera en que miramos en
derredor. Un espacio que es tridimensional, homogéneo y euclídeo nos hace
pensar en un algo continuo que rodea los objetos. Abandonar esta referencia
externa y colocarse sobre los objetos mismos, contando así tan sólo con estos
objetos y las relaciones entre ellos como referencia, requiere un salto conceptual
tremendo, un salto que no puede tener lugar tan sólo en matemáticas ni tan sólo
en geometría.
Intentaremos describir con detalle los cambios surgidos
durante los dos últimos siglos en la manera en la que los matemáticos miran en
su derredor, e ilustrar las ideas matemáticas con algunos cuadros que se
pintaban en las distintas épocas.
Espacio y tiempo: términos usados en filosofía para
describir la estructura de la naturaleza. A veces son descritos como
contenedores en los que ocurren todos los sucesos y procesos naturales, y a
veces como relaciones que conectan tales sucesos. (Enciclopedia Collier´s)
La segunda frase de esta definición nos dice que espacio y
tiempo son unas veces concebidos como contenedor, y otras como relaciones.
Curiosamente, estas dos palabras, “contenedor” y “relaciones”, describen,
respectivamente, las nociones de espacio que encontramos en las matemáticas de
los siglos dieciocho y veinte. Los matemáticos de hace dos siglos asociaban
espacio con Universo Físico, y creían (como
mucha gente aún cree) que el modelo que describe el espacio como una enorme
caja vacía es una reproducción exacta del Universo que nos rodea. Este espacio
aceptado como réplica del mundo físico, y conocido como Espacio Euclídeo, como
ya dijimos fue el único que se consideró hasta el siglo diecinueve, y puede ser
descrito por sus propiedades: un receptáculo cúbico (con tres dimensiones,
altura, anchura y profundidad), infinito y homogéneo (que significa que tiene
las mismas propiedades en todas sus partes); no ofrece resistencia al
movimiento, y está dotado de un modelo analítico (un sistema de coordenadas)
que da a los matemáticos una referencia desde la que medir.
Hoy en día los matemáticos describen un espacio (nótese que
ya no es “el espacio”, sino un espacio”) como una entidad abstracta que
consiste en dos cosas: un conjuntos cualquiera de objetos, y una red de
relaciones entre estos objetos. Un espacio puede estar formado por ciertas
curvas y relaciones entre ellas, por ejemplo, otro por triángulos y relaciones
entre triángulos, etc. Un espacio matemático es como una construcción de
ladrillos y cemento, los ladrillos son los objetos elegidos y el cemento las
relaciones entre estos objetos.
Estas dos maneras de concebir el espacio, radicalmente distintas,
reflejan y dan testimonio del cambio que ha tenido lugar en la manera en que los matemáticos piensan en el espacio
desde Newton (1642-1727), uno de los primeros matemáticos en mencionar la
palabra espacio explícitamente, hasta Hausdorff (1868-1942), matemático que
definió con precisión la noción contemporánea de espacio matemático.
La evolución en lo que se entiende por espacio en
matemáticas, ilustra un cambio cultural en la manera de mirar alrededor que
encontramos también en muchos pintores, músicos y escritores, por ejemplo.
El proceso que llevó a los matemáticos desde un espacio
visto como contenedor hasta un espacio como red de relaciones tiene dos partes.
En la primera, los matemáticos se libraron de la limitación
que suponía el uso de los objetos de la geometría euclídea como únicos
ladrillos posibles de un espacio matemático. Esta parte del proceso tuvo lugar,
fundamentalmente, durante el siglo diecinueve. Los matemáticos dejaron atrás la
noción de espacio-caja y, para principios del siglo veinte, cualquier colección
de objetos podía servir como conjunto de ladrillos con los que construir un
espacio. (Algunos aspectos de este proceso los ilustramos con cuadros de Velázquez,
Goya, Seurat, Cézanne, los Impresionistas y Kandinsky)
Una vez que podemos utilizar objetos cualesquiera como
elementos básicos de un espacio matemático, comienza la segunda tarea:
desarrollar las herramientas que nos permitirán utilizar estos objetos como
ladrillos con los que construir nuestro espacio matemático. Con los puntos de
Euclides sabemos construir segmentos, curvas, triángulos…
Pero, ¿cómo trabajar con objetos matemáticos cualesquiera?
Necesitamos algún tipo de cemento que nos permita unir estos
objetos unos con otros y obtener con ellos una estructura. Establecer
relaciones entre los objetos, formando así una red que nos permite llegar a
unos a partir de otros, tomar medidas, compararlos, etc.
