Hacemos un viaje a través de algunas obras del Museo del
Prado yel Museo Reina Sofía de Madrid y analizamos el paralelismo entre la
evolución del concepto de espacio en las matemáticas y en el arte.
En primer lugar vamos al Museo del Prado. En este museo analizaremos ese primer período en la evolución del concepto matemático de espacio, un espacio considerado como réplica del espacio "real", un contenedor cúbico enorme. Una vez agotadas
las posibilidades del espacio renacentista, el espacio tridimensional, la más importante convulsión
destructora de esta concepción espacial fue la provocada por el cubismo, que es
a las concepciones anteriores del espacio lo que lo que Gauss y Riemann son a
la geometría euclídea y al espacio newtoniano. Para analizar este segundo
período nos vamos al Museo Reina Sofía donde miraremos obras con la nueva
concepción del espacio como un conjunto de objetos y relaciones entre esos
objetos. Podemos hacer también mención a la concepción relativista de Einstein que también presupone el "cambio del punto de vista" en la apreciación de una realidad con diferente "resultado".
Después de cada explicación referente a los cuadros se hace un cuestionario para que sirva de apoyo a los alumnos.
Después de cada explicación referente a los cuadros se hace un cuestionario para que sirva de apoyo a los alumnos.
1. (Prado) Geometría euclídea, física newtoniana y representaciones del espacio como contenedor cúbico. Obras renacentistas y Velázquez.
¿Qué es el espacio y el tiempo?
Términos usados en filosofía para describir la estructura de
la naturaleza. A veces son descritos como contenedores en los que ocurren todos
los sucesos y procesos naturales, y a veces como relaciones que conectan tales
sucesos. (Enciclopedia Collier´s)
Hoy en día, podría decirse que los matemáticos describen un
espacio matemático como una construcción de ladrillos y cemento en la que
usamos como ladrillos los objetos elegidos y como cemento las relaciones entre
estos objetos.
Describiremos el proceso que llevó a los matemáticos de una
a otra y nuestra referencia constante serán los cuadros hechos mientras se iban
produciendo las matemáticas.
| Velázquez, Tintoretto |  |  |
2.(Prado) Surgen geometrías distintas de la geometría euclídea en la corriente principal de las matemáticas. Gauss, Goya.
Hablamos de matemáticas. En 1818, Gauss llevó a cabo un
estudio de la superficie de la tierra. La gran contribución de Gauss consistió
en dar la vuelta a la situación, en vez de utilizar la información sobre la
Tierra para entender los datos obtenidos en un estudio geodésico, determinó
cómo un estudio geodésico puede ser utilizado para deducir la forma de la
Tierra.
Geometría intrínseca de una superficie: la geometría, la
forma de una superficie, no sólo la caracteriza, sino que puede ser descrita
desde la propia superficie, sin abandonarla.
Según fueron estudiándose distintas geometrías no planas, se fueron descubriendo en ellas propiedades distintas de las de la geometría euclídea. Por ejemplo, es un hecho que en la geometría plana los ángulos de cualquier triángulo suman 180º, mientras que los ángulos de triángulos dibujados sobre una esfera miden siempre más de 180º. Otra propiedad fundamental de la geometría plana o euclídea es el Postulado de las Paralelas, es que por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela a ésta.
En la geometría esférica, geometría sobre la esfera, no
sobre el plano, las rectas son los círculos máximos (por ser recta, la
distancia más corta entre dos puntos), y dos círculos máximos trazados sobre
una esfera siempre se cortan. Es decir, no hay rectas paralelas en esta
geometría.
En pintura, vamos a destacar dos aspectos: la representación
de espacios que no son reales ni fantásticos (El Bosco, el jardín de las
delicias), los espacios pre-impresionistas, y el uso de coordenadas
(referencias) intrínsecas.
La gran idea de Gauss fue la geometría como intrínseca a una
superficie: el ambiente que rodea a la superficie no es necesario para
describirla.
3. Tras el paseo por el Prado nos vamos al Museo Reina Sofía.
Aceptadas las geometrías no euclídeas como válidas, el paso
siguiente, la separación definitiva entre los espacios matemáticos a los
que da lugar esta geometría y el espacio del Universo Físico. Esto permite
que en matemáticas se construyan entre otros, espacios de dimensión mayor
que tres y espacios cuyos elementos básicos son otros que los “puntos”
ordinarios de la geometría euclídea. A estos espacios se les llama
“espacios abstractos”, y a sus elementos básicos, a sus ladrillos, puntos
abstractos. Riemann.
La contribución de Riemann al proceso que estamos
describiendo es esencial y teórica.
El espacio ambiente en el que existen los objetos de la
geometría de Euclides se conoce como Espacio Euclídeo; un espacio con una
geometría esférica será un espacio esférico…Espacios con distintas geometrías
tienen distintas propiedades. Como ya mencionamos, en unos por ejemplo habrá
rectas paralelas y en otros no; en unos la suma de los ángulos de un triángulo
será 180º y en otros no. Riemann cayó en la cuenta de que aceptadas como
válidas geometrías distintas de la euclídea, el paso natural que dar a
continuación es el aceptar también como válidos los espacios ambiente en los
que habitan estas geometrías.
Sugirió que el concepto básico en geometría es el de
posición. Una posición puede ser determinada si contamos con una métrica (una
manera de medir distancias entre objetos). Entonces, una vez que tengamos una
métrica, tendremos una geometría, y una vez que tengamos una geometría
construída a partir de una métrica, tendremos una estructura espacial que es lo
llamamos un Espacio Métrico.
Contribuciones de Riemann:
-Reconoce la diferencia entre espacio físico y espacio
geométrico.
-Cae en la cuenta de que punto y recta no son nociones
esenciales en geometría; sugiere que sí lo es la idea de posición dada a partir
de una métrica.
-Define un espacio matemático general como un espacio
n-dimensional, con n cualquier número positivo, que tendrá como “puntos”
elementos arbitrarios y se medirá si es que es posible, con una métrica.
En los conjuntos en los que sepamos construir una métrica,
contaremos con una geometría que dará lugar a una estructura de espacio. Pero,
¿qué hacer cuando no tengamos una métrica? ¿Es indispensable contar con una
métrica para poder hablar de espacio? Igual que él cuestionó los “puntos” y
“rectas” de Euclides, es natural que tras él se cuestionase la necesidad de la
“posición” o la “métrica”.
¿Y qué es medir? Comparar objetos, ¿Y qué es comparar
objetos? Una forma de relacionarlos.
Entonces si queremos construir una estructura a partir de
los elementos de un conjunto arbitrario y no logramos construir una métrica,
podemos intentar establecer algún tipo de relación entre los elementos de
nuestro conjunto, y conseguir así un espacio a partir de ellos.
Estos espacios matemáticos construidos a partir de un
conjunto arbitrario y una relación de los elementos de ese conjunto se conocen
como Espacios Abstractos, fueron definidos por Hausdorff en 1914. Las
reflexiones de Riemann sugirieron posibilidades maravillosas pero las
herramientas para llevarlas a cabo aún no estaban construídas.
Construcción de herramientas con las que manejar dimensiones mayores y puntos abstractos: Cantor, Cézanne.
Acabamos de contar cómo Riemann introdujo la posibilidad de construir espacios matemáticos con más de tres dimensiones. Esto hizo que los matemáticos se tuviesen que preguntar qué, exactamente, se entendía por dimensión. En la época en que murió Riemann (1866), los matemáticos tenían una concepción intuitiva de lo que es la "dimensión de un espacio", y la identificaban con el número de coordenadas independientes necesarias para determinar la posición de un punto en ese espacio.
Dimensión 1
Si estamos en una carretera y alguien nos pregunta por un pueblo situado en
esa misma carretera solo necesitaremos contestar un número: la distancia a la
que se encuentra el pueblo (y el sentido, naturalmente, pero esa información
podemos darla mediante el signo del número). Una carretera es un objeto de una
dimensión.
Imaginémonos ahora en una gran ciudad de calles perpendiculares: si alguien
nos pregunta por un determinado edificio deberemos dar dos números: diremos,
señalando cierta dirección, que para llegar al edificio citado hay que avanzar
de frente un cierto número de bloques y después otro cierto número de bloques,
bien a la izquierda o bien a la derecha. El plano de una ciudad es un objeto de
dos dimensiones.
Otro ejemplo de objeto bidimensional sería la superficie de la Tierra, sobre
la cual, para orientarnos, solo necesitamos dos números:la latitud y la longitud.
Dimensión 3
Si lo que nos piden es algo más preciso, como la forma de llegar a nuestra
casa, y resulta que vivimos en un bloque de pisos, debemos dar entonces un
número más: la planta en la que se encuentra. La ciudad real, con sus bloques
de pisos, es un objeto de tres dimensiones.
Otro objeto tridimensional es el propio espacio: supongamos que, hartos de
los humos de la gran ciudad, decidimos dar un paseo en globo, y que tras un
rato de navegación el viento deja de empujarnos y nos quedamos completamente
parados. ¿Dónde nos encontramos? Si llevamos el GPS a mano será fácil
averiguarlo: le damos a un botón y en la pantalla aparecerán tres números: la
latitud y la longitud del lugar sobre el que nos encontramos más uno tercero:
la altura.
Grados de libertad.
El número de dimensiones es una forma de medir la libertad que ofrece el
objeto geométrico para sus hipotéticos habitantes: dentro de una línea solo se
puede ir en un sentido o en otro. En un plano se puede, además, cambiar de
dirección. Si nuestro mundo es de tres dimensiones, podemos volar.
Cantor y Dedekind reflexionaron sobre esta idea intuitiva de dimensión, y ambos estaban de acuerdo en que un conjunto de dimensión 2 debería, de alguna manera, ser más grande que otro de la misma naturaleza y dimensión 1. El método más fácil para comprobar si dos conjuntos tienen el mismo tamaño consiste en emparejar los elementos de uno y otro: si después de hacerlo no nos sobra ningún elemento en ninguno de los dos conjuntos, podemos concluir que ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos. En matemáticas, formar parejas con los elementos de dos conjuntos de manera que cada pareja tenga un elemento de cada conjunto y que ningún elemento esté en más de una pareja, se llama establecer una correspondencia biunívoca entre los conjuntos. Cantor y Dedekind pensaban que no debería ser posible establecer una correspondencia biunívoca entre conjuntos de distinta dimensión, por ejemplo una recta (dimensión1) y una superficie (dimensión 2).
En 1877 Cantor logró construir una correspondencia biunívoca entre un segmento y un cuadrado, un segmento y un cubo...Este ejemplo llenó de perplejidad a Cantor y Dedekind, pues parecía indicar que es posible reducir cualquier número de dimensiones independientes a una sola dimensión y eso contradice la idea intuitiva de dimensión.
4. (Reina Sofía) Construcción de espacios abstractos matemáticos. Volterra, impresionistas, cubistas.
Hay una separación definitiva entre espacio matemático e
intuición espacial. Cantor desarrolló las herramientas necesarias para manejar
“puntos abstractos”.
Espacios concretos formados por objetos matemáticos
conocidos, cuyos “puntos” pueden ser curvas, funciones, integrales…siempre que
podamos definir una noción de proximidad entre los elementos de un conjunto,
podremos construir un espacio entre ellos.
Con Volterra aparece ya la noción moderna de espacio
matemático: “espacio es cualquier conjunto de objetos y relaciones entre esos
objetos”.
Si el matemático puede elegir libremente los objetos y las
relaciones que desea estudiar, lo mismo ocurre al pintor. Libre del concepto
renacentista de espacio, puede estudiar relaciones entre distintos objetos.
Por ejemplo, los impresionistas, estudiando las relaciones
entre colores, entre pinceladas o entre luces.
Las relaciones de proximidad que los matemáticos de este
período definen en sus espacios están aún muy ligadas a la noción de
“distancia” y por lo tanto a una visión euclídea de la estructura del espacio).
Sin embargo, si los espacios están aún ligados a una estructura euclídea, los
espacios pictóricos lo están aún a la naturaleza, al mundo físico que nos
rodea. Los cuadros impresionistas representan todavía paisajes, flores, gentes,
animales.
5. (Reina Sofía) Formalización final de los espacios abstractos. Hausdorff, Kandinsky.
Los trabajos de Volterra, Fréchet y Riesz definieron con
todo rigor los espacios abstractos. Pero, como ya dijimos, sus definiciones
estaban aún sujetas a una idea euclídea de la proximidad o distancia.
Hausdorff-espacios topológicos.
Definición de Hausdorff no sujeta a la intuición euclídea
del espacio. Podemos definir el entorno de un punto utilizando la idea usual de
distancia, pero también podemos hacerlo usando cualquier otro tipo de relación
matemática.
Kandinsky (acuarela Abstracción) representa un espacio
abstracto, ya que no aparecen en ella formas ni objetos ligados a una
representación del mundo material de la naturaleza.
Hay cuadros abstractos (Mondrian, Cézanne o Picasso) y
cuadros que representan espacios abstractos (Kandinsky, Pollock, Malevitch o
Tápies)
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